Как описать "свободный" объект, не выходя за рамки данной категории?

Question

Как описать "свободный" объект, не выходя за рамки данной категории?

Скажем, описать свободную группу от 1 порождающего, не используя категорию множеств?

Можно было бы попробовать так:
*минимальный* *нетривиальный* объект, из которого существует *нетривиальный* морфизм в любой другой *нетривиальный* объект.

Если под нетривиальностью подразумевать неизоморфность начальному объекту, то в случае с группами получится Z. Если начать Z тоже считать "тривиальной", то следующим свободным объектом получится свободная группа от двух порождающих, и т. д.

Но не ясно, как лучше сформулировать "минимальность". Желательно, чтобы из неё вытекала уникальность, и чтобы это работало с другими категориями, например с Ring.

Есть ли какая-то готовая конструкция для этого? Или это заведомо провальная идея?

0

02.01.2023

3 ответов

20 просмотров

Nikita Repeev

Аршак Айвазьян
В произвольной категории слово "свободный объект" ...

А почему свободный предпорядок это более странно чем свободная решетка?

0

03.01.2023

Аршак Айвазьян

Nikita Repeev
А почему свободный предпорядок это более странно ч...

Я имел ввиду не категорию предпорядков, а категорию одного предпорядка (= thin category)

0

03.01.2023

Аршак Айвазьян · Accepted Answer

В произвольной категории слово "свободный объект" просто ничего не означает (чтобы означало свободный объект в предпорядке? в гомотопической категории?) Но в монадических категориях над Set (которые включают все обычные алгебраические категории, вероятно мотивирующие ваш вопрос) действительно есть адекватное понятие свободного объекта и я до сих пор не встречал его внутренней характеризации. На самом деле, я с августа немножко размышлял над этим вопросом в форме "существует ли внутреннее описание" -- может быть у категории есть симметрии, которые переведут выделенные нами свободные объекты в какие-то неизоморфные им (но внутренне имеющие те же самые свойства)? Основная характерная черта свободных объектов: регулярная проективность. Для любого морфизма F -> B и любого регулярного эпиморфизма A -> B существует поднятие F -> A (потому что "выберем базис в F, посмотрим на какие-нибудь его прообразы относительно нашего регулярного эпиморфизма и отправим в них базис). Например, для абелевых групп этого достаточно: в них проективность = свободность (и регулярная проективность = проективность т.к. в абелевых категориях регулярные epi/mono = epi/mono). А для кольца типа Z x Z это не так, его подмодули вида Z x 0, 0 x Z проективны, но не свободны. Посмотреть на примеры с модулями оказалось крайне плодотворным: вспомнилось, что одна и та же категория модулей может получаться из разных колец, так если понятие свободного объекта имеет общее внутренне определение, то оно должно сохраниться эквивалентностью. Это не так: рассмотрим морита-эквивалентные кольца R и M_n(R). Стандартная эквивалентность отправляет (свободный объект) R в (проективный, но не свободный) R^n. Естественные вопросы: 1) Верно ли, что регулярно проективные объекты в монадической категории это в точности все объекты, которые могут быть свободными для тех или иных монад? 2) Всегда ли существует монада относительно которой все регулярные проективные объекты свободны? (если 2 да, то 1 да) на оба есть шанс получить отрицательные ответы продолжением анализа морита-эквивалентности, но у меня нет сейчас времени подумать об этом

Похожие чаты

Как описать "свободный" объект, не выходя за рамки данной категории?

3 ответов

Похожие вопросы