дофига структуры.
Натуральные реализуют сходу три полугруппы/моноида — сложение, умножение, минимум — (полу-)решётки с теми же min/max и ещё GCD/LCM до кучи...
Целые добавляют (абелеву) группу по сложению, кольца и что там ещё...
Рациональные докидывают ещё групп и всякого, действительные уже образуют поле...
Кто-нибудь философски осмыслял, как так вышло, и как это "совпадение" повлияло на развитие математики в целом?
Мне это здорово напоминает про такие "удачные совпадения" как то, что вода имеет минимум энергии при +4°C, когда она ещё жидкая, а лёд имеет сильно меньшую плотность, чем вода, и плавает в ней, что совместно вообще позволяет существовать биологической жизни как минимум на нашей планете...
Укажу на очевидное: человечество сперва изобрело числа, а уж потом стало изучать математические структуры. Вопрос: как так вышло, что мы "случайно" изобрели такую штуку, которая реализует настолько дофига структур?
Целые числа являются группой по построению. Их можно рассматривать как группу Гротендика натуральных чисел по сложению.
Сравнения и делимость являются полурешётками опять же по построению.
В каком смысле "по построению"?
В смысле ты намеренно их вводишь чтобы получить то, что тебе нужно.
Делимость — да, её можно не рассматривать, и без неё дофига. А вот сравнения — нет, их явно вводили не для того чтобы полурешётки получать. 😊
Решётка это всего лишь отношение сравнения, где всегда есть максимум и минимум.
Только ты тут лошадь ставишь впереди телеги: сначала были сравнения, а уж потом их обобщение до решёток.
Да, сначала структуры ввели, а затем полностью осознали. Обычное дело в математике.
сначала были нумералы, а потом как-то обнаруживались числа, уточнялись числа, находили в них больше свойств и следствий человечество не сразу получило те числа, о которых мы говорим
ОК. Этот процесс где-нибудь описан и осмыслен?
Не знаю, не специалист по истории математики
Обсуждают сегодня